Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: Найдите катеты прямоугольного треугольника

Пусть r – радиус окружности с центром O , вписанной в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB , OA= , OB = .

Поскольку AO и BO – биссектрисы острых углов треугольника,

AOB = 90^o+ ACB = 90^o+· 90^o = 135^o.

По теореме косинусов

AB = = =5.

Высота треугольника AOB , проведённая из вершины O равна r . Выражая двумя способами площадь этого тругольника, получим, что

· 5r = · · · ,

откуда r =1.

Пусть M – точка касания вписанной окружности треугольника ABC с катетом AC . Тогда

MC = OM = r = 1, AM = = = 2.

Следовательно,

AC = AM+MC = 2+1=3, BC = = = 4.

3 Х 4.