Олимпиадная задача: радиусы окружностей в равнобедренном треугольнике ABC

Решение задачи отсутствует

.

Обозначим через α угол при основании равнобедренного треугольника ABC . Высота равнобедренного треугольника является его медианой и биссектрисой, поэтому D – середина основания AD , а центр O вписанной окружности лежит на отрезке BD .

Из прямоугольных треугольников AOD и ABD находим, что

AD = =, AD = =,

поэтому = , а т.к. tg α = , то из полученного равенства находим, что tg2 = . Тогда

sin α = = .

Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC . По теореме синусов

R = = = = = = .