Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: биссектрисы в треугольнике

  Обозначим  BN = x,  BM = y.  По свойству биссектрисы треугольника  BN : AN = CB : CA  и  BM : CM = AB : AC,  или  ^x/₂ = ^3+y/₆  и  ^y/₃ = ^x+2/₆,  откуда

x = ⁸/₅  и  y = ⁹/₅.  Значит,  AB = 2 + ⁸/₅ = ¹⁸/₅,  BC = 3 + ⁹/₅ = ²⁴/₅,  AB : BC : AC = 3 : 4 : 5,  следовательно,  ∠ABC = 90°.  По теореме Пифагора

MN² = BM² + BN² = ¹⁴⁵/₂₅.

.