Олимпиадная задача по стереометрии: площадь сечения правильной пирамиды SABCD для 10–11 классов

Пусть SH = 2a – высота пирамиды, O – точка пересечения секущей плоскостис высотой SH . Плоскость SDB проведена через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает эту плоскость, по некоторой прямой l , проходящей через точку O , значит, прямая l параллельна диагонали BD основания. Пусть прямая l пересекает боковые рёбра SD и SB в точках M и K соответственно, а прямая AO пересекает боковое ребро SC в точке L . Тогда четырёхугольник AMLK – сечение, о котором говорится в условии задачи.

Поскольку прямая BD параллелльна секущей плоскости, все точки этой прямой удалены от секущей плоскости на одно и то же расстояние, поэтому длина перпендикуляра, опущенного из точки B на секущую плоскость, равна длине перпендикуляра HP , опущенного из точки H на прямую AL .

Обозначим OH=x . Из прямоугольного треугольника AHO находим, что

AO = = = .

Тогда

HP = = = .

По условию задачи = sin 30^o = , или = , откуда x= . Тогда

SO = SH-OH = SH-x = 2a- = ,

= 3, MK = · BD = · a = .

Пусть N – ортогональная проекция точки L на плоскость основания. Тогда L лежит на диагонали AC основания.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ASC . Через вершину S проведём прямую, параллельную AC , и продолжим AL до пересечения с этой прямой в точке T . Из подобия треугольников SOT и HOA следует, что ST = AH· = , а из подобия треугольников SLT и CLA –

= ==,

Значит,

NH = HC = , AN = AH+HN=+= ,

LN = SH = · 2a = =AN, AL = AN = .

По теореме о трёх перпендикулярах AL BD , значит, AL MK . Следовательно,

S_AMLK = AL· MK = · · = .

.