Олимпиадная задача по стереометрии: объемы пирамиды и куба для 10–11 классов
Задача
В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что одно ребро куба лежит на средней линии основания пирамиды; вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности пирамиды; центр куба лежит на высоте пирамиды. Найдите отношение объёма пирамиды к объёму куба.
Решение
Пусть SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, M и N – середины сторон соответственно AB и CD основания ABCD (рис.1), E и F – вершины куба EFGHE1F1G1H1, лежащие на отрезке MN , G и H – вершины, лежащие в грани BSC , E1и F1– в грани ASD , вершина H1– в грани ASB , вершина G1– в грани CSD , O – центр куба, ST – высота пирамиды. Обозначим через a сторону основания ABCD пирамиды, через x – ребро куба.
Поскольку центр O куба лежит на высоте ST пирамиды, точка T1,
симметричная T относительно O , лежит на ребре G1H1куба и
делит его пополам. Рассмотрим сечение пирамиды и куба плоскостью MSN (рис.2).
Получим равнобедренный треугольник MSN и вписанный в него прямоугольник EFG1H1, причём точки G1и H1лежат на боковых
сторонах SN и SM соответственно и H1G1 = x , EH1=
FG1 = x
, MN=a . Из подобия треугольников G1SH1и NSM следует, что 
= 
= 
.
Рассмотрим сечение пирамиды и куба плоскостью, проходящей через вершину S и середины P и Q рёбер AD и BC соответственно (рис.3). Получим равнобедренный треугольник PSQ и вписанный в него квадрат TP1T1Q , вершины P1и Q1которого лежат на боковых сторонах SP и SQ соответственно.
Тогда
= 
= 
=
1- = 1- = 
,
.
Заметим, что
QTQ1 = 90o - STQ1 =
90o-45o=45o.
SΔ STQ = 
TQ· ST,
SΔ STQ=SΔ STQ1+SΔ QTQ1=
=ST· TQ1 sin 45o+TQ· TQ1 sin 45o=
TQ1(ST+TQ).
TQ· ST=TQ1(ST+TQ)находим, что TQ1 = 
, или
x=
1=
a=x(2-1).
ST = = 
=
,
Vпирамиды = 
a2· ST = · x2(2-1)2·
= 
.
= 
=
.
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь