Геометрическое место центров прямоугольников, вписанных в треугольник ABC — олимпиадная задача

Пусть сторона KL прямоугольника KLMN лежит на наибольшей стороне AB треугольника ABC , а вершины M и N – на сторонах BC и AC соответственно, P – середина AB .

Поскольку MN || AB , медиана CP проходит через середину E отрезка MN . Отрезок EF , соединяющий середины E и F сторон MN и KL прямоугольника KLMN , и диагональ LN прямоугольника пересекаются в центре X прямоугольника. Поскольку отрезок EF параллелен высоте CH треугольника ABC , луч PX , содержащий медиану треугольника CPH , проходит через середину Q отрезка CH . Таким образом центр любого прямоугольника, о котором говорится в условии задачи, лежит на отрезке PQ .

Обратно, пусть X – произвольная внутренняя точка отрезка PQ , где P – середина стороны AB , а Q – середина высоты CH . Рассмотрим точку F пересечения медианы CP треугольника ABC и прямой, проходящей через точку X параллельно высоте CH . Пусть эта прямая пересекает отрезок AB в точке F . Медиана PQ прямоугольного треугольника CPH проходит через середину отрезка EF , значит, X – середина EF . Через точку F проведём прямую, параллельную AB . Пусть M и N – точки пересечения этой поямой со сторонами BC и AC соответственно, а L и K – основания перпендикуляров, опущенных из этих точек на сторону AB . Медиана CP треугольника ABC проходит через середину отрезка MN , значит, E – середина MN . Тогда F – середина KL , а середина X отрезка EF , соединяющего середины противоположных сторон MN и KL прямоугольника KLMN – центр этого прямоугольника.

Отрезок (без концов), один конец которого – середина AB , а второй – середина высоты CH .