Олимпиадная задача по стереометрии: радиус описанной сферы около пирамиды SABC

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны, поэтому BS· SB1 = AS· SA1= 4· 8 = 32. Кроме того, BB1=AA1= AS+SA1 = 4+8 = 12. Из системы

и условия BS < B1S находим, что BS = 4и SB1 = 8. Аналогично, CS = 4и SC1 = 8.

Пусть A2, B2и C2– основания перпендикуляров, опущенных из центра O сферы на хорды AA1, BB1и CC1соответственно. Тогда точки A2, B2и C2– середины этих хорд.

Заметим, что треугольная пирамида SABC подобна треугольной пирамиде SA2B2C2, т.к. эти пирамиды гомотетичны с центром гомотетии S и коэффициентом

k=- = - = - = -2.

Поэтому радиус R сферы, описанной около пирамиды SABC в два раза больше радиуса r сферы, описанной около пирамиды SA2B2C2.

Отрезок OS виден из точек A2, B2и C2под прямым углом, значит, эти точки лежат на сфере с диаметром OS , т.е. OS – диаметр сферы, описанной около пирамиды SA2B2C2. Из прямоугольных треугольников AOA2и OSA2находим, что

OA22 = OA2-AA22 = OA2-(AA1)2 = 92-62 = 45,

2r = OS = = = 7.

Следовательно, R=2r = 7.