Ортоцентрический тетраэдр: доказательство коллинеарности точек пересечений высот, медиан и центра сферы

Пусть M1– точка пересечения медиан грани ABC ортоцентрического тетраэдра ABCD (рис.1), H1– ортоцентр треугольника ABC , O1– центр описанной окружности этого треугольника. Известно, что точки M1, H1и O1лежат на одной прямой (прямая Эйлера треугольника ABC ), причём точка M1лежит между точками O1и H1и M1H1=2M1O1.

Поскольку тетраэдр ортоцентрический, его высоты пересекаются в одной точке. Обозначим её H . Тогда точка H лежит на высоте DH1. Центр O сферы, описанной около тетраэдра расположен на прямой, перпендикулярной плоскости основания ABCD и проходящей через центр O1описанной окружности треугольника ABC .

Прямые DH1и OO1параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости. Плоскость, проходящая через эти прямые, содержит точки H1и O1, а значит, и точку M1, лежащую на прямой H1O1. Поэтому медиана DM1тетраэдра также лежит в этой плоскости. Следовательно, этой плоскости принадлежит и точка M пересечения медиан тетраэдра. Таким образом, точки H , O и M расположены в плоскости, проходящей через вершину D тетраэдра ABCD и прямую Эйлера треугольника ABC .

Аналогично докажем, что плоскость, проходящая через любую другую вершину тетраэдра и прямую Эйлера противолежащей грани, содержит точки H , O и M , т.е. точки H , O и M лежат в каждой из четырёх указанных плоскостей, а т.к. эти плоскости не могут совпасть (вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости), то их пересечением является прямая. Следовательно, точки H , O и M лежат на этой прямой. Что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что M – середина отрезка OH . Для этого рассмотрим сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через вершину D и прямую Эйлера основания ABC (рис.2). Известно, что точка M пересечения медиан тетраэдра делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины, поэтому MM1= DM1. Пусть P – проекция точки M на прямую O1H1. Положим O1H1=6x . Тогда

M1O1= 2x, M1H1= 4x, M1P = M1H1=x, H1P = 4x-x = 3x, PO1= x+2x= 3x.

Значит, P – середина отрезка O1H1, а т.к. MP || HH1 || OO1, то M – середина отрезка OH . Что и требовалось доказать. Рассмотрим вектор = + + (рис.3). Так как

= ( + + ),

то = 3 , поэтому точки O , M1и K расположены на одной прямой и M1K = 2OM1.

Проведём плоскость α через параллельные прямые DH1и OO1(эти прямые перпендикулярны одной и той же плоскости ABC ). Тогда треугольники KH1M1и OO1M1, расположенные в плоскости α , подобны ( M1K = 2OM1, M1H1 = 2M1O1, KM1H1 = OM1O1), поэтому H1K || OO1. Следовательно, точка K лежит на прямой DH1.

Рассмотрим вектор

= ( + + + ) = ( + ).

Точка Q , середина отрезка DK , лежит на высоте DH1. Аналогично, точка Q лежит на остальных трёх высотах тетраэдра ABCD , т.е. Q совпадает с H .

Так как

= ( + + + ),

то = 2 , следовательно, точки O , M и H лежат на одной прямой, причём M – середина отрезка OH .

Ответ задачи отсутствует