Олимпиадная задача по планиметрии: вписанные окружности в четырёхугольнике BPOQ
Задача
Окружность с центром O , вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается боковых сторон AB и BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что в четырёхугольник BPOQ можно вписать окружность, и найдите угол ABC , если известно, что радиус этой окружности вдвое меньше радиуса вписанной окружности треугольника ABC .
Решение
Четырёхугольник BPOQ выпуклый, BP=BQ как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, а OP=OQ как радиусы одной окружности, поэтому BP+OQ = BQ+OP . Следовательно, в четырёхугольник BPOQ можно вписать окружность.
Пусть r – её радиус. Тогда радиус висанной окружности треугольника ABC равен2r . Если окружность с центром O1, вписанная в четырёхугольник BPOQ , касается его стороны OP в точке F , а стороны BP – в точке E , то
O1F 
OP, O1F = r, O1E BP, FP = O1E = r,
OF = OP-FP=2r-r=r.
FO1O = FOO1
= 45o . Тогда OBQ = OBP = 45o . Следовательно, ABC = 2 OBP = 90o .
Ответ
90o .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь