Олимпиадная задача по планиметрии: ромб, треугольник и окружность, 8-9 класс

Пусть сторона KM треугольника KLM параллельна диагонали BD ромба ABC и касается данной окружности в точке P , сторона KL треугольника параллельна диагонали AC ромба и касается окружности в точке Q , а сторона LM треугольника параллельна стороне AB ромба и касается окружности в точке T . Поскольку стороны KM и KL параллельны диагоналям ромба, а диагонали ромба перпендикулярны, треугольник KLM – прямоугольный, причём LKM = 90^o . Если O – центр окружности, то четырёхугольник KPOQ – квадрат со стороной, равной радиусу окружности, т.е. 1.

Обозначим MP=MD = x . Тогда

MT=MP=x, LQ=LT =ML-MT= 5-x, KL=KQ+LQ=1+(5-x)=6-x.

По теореме Пифагора ML2=KM2+KL2, или

25=(1+x)2+(6-x)2, x2-5x+6=0.

Продположим, что KM < KL . Тогда возьмём меньший корень полученного уравнения: x=2. Таким образом, KM=1+x=1+2=3, KL=6-x=6-2=4.

Обозначим KLM = α . Тогда

sin α = = , cos α = , sin 2α = 2 sin α cos α = 2· · = .

Пусть H – проекция вершины B ромба на его сторону AD . Тогда BH – высота ромба, значит, BH вдвое больше радиуса окружности, вписанной в ромб, т.е. BH=2. Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

AB = = = = = = .

.