Олимпиадная задача по стереометрии — косинус угла между гранью и основанием пирамиды
Задача
В правильную треугольную пирамиду SABC с основанием ABC вписан шар, к нему проведена касательная плоскость, параллельная грани ASC . Эта плоскость пересекает ребро SB в точке M , причём BM:MS=1,55. Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.
Решение
Поскольку пирамида правильная, центр O её вписанного шара лежит на высоте SH (рис.1), точка N касания шара с плоскостью грани ASC лежит на апофеме SK ( K – середина AC ), точка касания шара с плоскостью основания пирамиды совпадает с точкой H , а точка Q касания шара с секущей плоскостью лежит на прямой, проходящей через точку M параллельно апофеме SK .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью BKS (рис.2). прямая MQ пересекает медиану BK треугольника ABC в точке P . Обозначим BK = a . Тогда
= 
= 1,55,
= 
= 
= 
=
= 
= 
,
KP = BK = a,
KH = 
BK = a = 
a,
PQ = PH = KP-KH = a - a = 
a,
KN = KH = a.
PM и ON SK (как радиусы, проведённые в точки
касания) и MP || SK , точки N , O и Q лежат на одной прямой.
Пусть L – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на SK .
Если α – угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания,
то
cos α = cos 
SKH = cos LKH = 
=
= 
=
=
= 
= 
.
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь