Олимпиадная задача по стереометрии: двугранный угол в пирамиде SABCD

Докажем сначала следующее утверждение: если V – объём тетраэдра, S1и S2– площади двух граней, l – длина их общего ребра, ϕ – величина двугранного угла между ними, то V = · .

Пусть ребро MN тетраэдра KLMN равно l , угол между гранями MNL и MNK равен ϕ , S_{Δ MNK} = S1, S_{Δ MNL} = S2(рис.1).

Если LH – высота тетраэдра, опущенная на основание MNK , а HP – перпендикуляр, опущенный из точки H на MN , то по теореме о трёх перпендикулярах LP MN , значит, LPH – линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре MN . Поэтому LPH = ϕ . Тогда

V=V_KLMN = S_{Δ MNK}· LH = S1· LP sin ϕ = S1· · sin ϕ= · .

Утверждение доказано.

Перейдём к нашей задаче (рис.2). Из прямоугольных треугольников SCD , SCB и SCA находим, что

SD = = , SB = = ,

AS = = .

Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что AB BS и AD DS . Тогда

S_{Δ ABS} = AB· BS = a, S_{Δ ADS} = AD· DS = b.

Обозначим через ϕ искомый угол и применим доказанное ранее утверждение к тетраэдру SABD . Получим равенство

V_SABD = · ,

или

· ab· h = · .

Отсюда находим, что

sin ϕ = .

Заметим, что проекция точки B на плоскость ADS лежит вне треугольника ADS , поэтому ϕ > 90^o . Значит, острый угол между плоскостями ABS и ADS равен180^o- arcsin .

180^o- arcsin .