Олимпиадная задача по стереометрии: пирамида SABCD, плоскость KLC и деление SD

Плоскости граней SBC и SAD проходят через параллельные прямые BC и AD и имеют общую точку S . Значит, они пересекаются по прямой l , параллельной основаниям трапеции и проходящей через точку S (рис.1). Пусть прямая CL пересекается с прямой l в точке P , прямая PK пересекается с прямой SD в точке M , а с прямой AD – в точке Q .

Обозначим AD = a . Тогда BC=2a . Из подобия треугольников SLP и BLC находим, что

SP = · BC = · 2a = a,

а из подобия треугольников SKP и AKQ –

AQ = · SP = 2· a = a.

Тогда QD = AQ-AD = a - a = a , а из подобия треугольников SMP и DMQ следует, что

= = = 2.

Пусть M – точка пересечения секущей плоскости с прямой SD (рис.2). Обозначим V_SABCD = V , =x . Тогда

V_SABC = V, V_SADC = V, V_SABD = V, V_SBCD = V,

V_SCKL = · · · V_SABC= · · · V,

V_SCKM = · · · V_SACD= · · x · V,

V_SKLM = · · · V_SABD= · · x · V,

V_SCLM = · · · V_SBCD= · · x · V.

Условие принадлежности точек K , L , C и M одной плоскости равносильно равенству

V_SCKL + V_SCKM = V_SKLM+ V_SCLM,

или

· · · V+ · · x · V= · · x · V+ · · x · V.

Отсюда находим, что = x = . Следовательно, SM:MD=2:1.

2:1.