Олимпиадная задача по стереометрии: вписанный шар в пирамиду ABCD, 10-11 класс

Так как CB – ортогональная проекция наклонной DB на плоскость основания ABC и CB AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DB AB . Значит, треугольник ABD – прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что

BD = = = ,

AC = = = .

Пусть S – площадь полной поверхности пирамиды ABCD . Тогда

S = S_{Δ ABC} + S_{Δ BCD} + S_{Δ ABD} + S_{Δ ACD} =

= AB· BC + BC· CD + AB· BD + AC· CD=

= · 2· 3 + · 3· 1 + · 2·

• · · 1 =

= (9 + 2 + ).

Пусть V – объём пирамиды ABCD , r – искомый радиус вписанного в пирамиду шара. Так как DC – высота пирамиды, то

V = S_{Δ ABC}· DC = · 3· 1 = 1.

С другой стороны, V = S· r . Следовательно,

r = = = .

.