Олимпиадная задача по стереометрии: отношение радиусов шаров в трёхгранном угле

Рассмотрим куб с вершинойP. Пусть его диагональ, проведённая из вершиныP, образует с плоскостями трёх граней, содержащих вершинуP, углы, равные α. Если

ребро куба равно c, то его диагональ равна c

√ 3

. Значит,

sin α =

c c√ 3

=

1 √ 3

.

Пусть касающиеся шары радиусовrиR(r < R) с центрамиO₁,O₂ вписаны в трёхгранный угол с вершиной Pнекоторого куба,M₁ иM₂ ─ точки касания шаров с плоскостью какой-нибудь грани трёхгранного угла,Q ─ точка касания шаров. ТогдаO₁M₁ иO₂M₂ ─ перпендикуляры к этой плоскости, точкаQлежит на отрезкеO₁O₂, прямаяO₁O₂ с этой плоскостью угол α.

Проведём плоскость через параллельные прямыеO₁M₁ и O₂M₂. Опустим перпендикулярO₁Fиз центраO₁ меньшего шара на прямуюO₂M₂. В прямоугольном треугольникеO₁FO₂ известно, что

O₁O₂ = R + r,    O₂F = R − r,    ∠FO₁O₂ = α.

Поэтому

R − r R + r

=

O₂F O₁O₂

= sin ∠FO₁O₂ = sin α =

1 √ 3

.

Тогда

(R − r)√	3	= R + r,    R(√	3	− 1) = r(√	3	+ 1).

Следовательно,

r R

=

√ 3  − 1 √ 3  + 1

= 2 −

√ 3

.

Ответ задачи отсутствует