Олимпиадная задача по стереометрии: куб и плоскость у единичной сферы, для 10–11 класса

Рис. 1	Рис. 5
Рис. 2	Рис. 6
Рис. 3	Рис. 7
Рис. 4	Рис. 8

Пусть вершиныA,B,CиDкубаABCDA₁B₁C₁D₁ с ребромxлежат в данной плоскости, а вершиныA₁,B₁,C₁ иD₁ на данной сфере с центром O(рис. 1─4). Через точкуOпроведём прямую, перпендикулярную данной плоскости. Пусть эта прямая пересекает плоскости гранейABCDиA₁B₁C₁D₁ в точкахPиP₁ соответственно. Поскольку точкиA₁,B₁,C₁ иD₁ равноудалены от точкиO, точкаP₁ ─ центр квадратаA₁B₁C₁D₁. ТогдаP ─ центр квадратаABCD.

Рассмотрим сечение сферы и куба плоскостью, проходящей через прямуюOPи вершинуA₁. Получим окружность единичного радиуса с центром в точкеOи прямоугольникAA₁C₁C, сторонаACкоторого лежит на хорде окружности, удалённой на расстояниеaот центра окружности, а вершиныA₁ иC₁ ─ на окружности, причёмAA₁ = x,

а A₁C₁ = x

√ 2

.

Пусть точкиOиP₁ лежат по разные стороны от прямойAC(рис. 5). Тогда в прямоугольном треугольникеOP₁A₁ известно, что

OA₁ = 1,   A₁P₁ =

1 2

A₁C₁ =

x√ 2 2

,

OP₁ = OP + PP₁ = a + x.

По теореме ПифагораOA₁² = = A₁P₁² + OP₁², или

1 =

x² 2

+ (a + x)².

Из этого уравнения находим, что

x =	√ 6 − 2a²  − 2a 3

(второй корень заведомо отрицательный).

Пусть точкиOиP₁ лежат по одну сторону от прямойAC(рис. 6─8). Тогда в прямоугольном треугольникеOP₁A₁ известно, что

OA₁ = 1,   A₁P₁ =

1 2

A₁C₁ =

x√ 2 2

,

OP₁ = |PP₁ − OP| = |x − a|.

По теореме ПифагораOA₁² = = A₁P₁² + OP₁², или

1 =

x² 2

+ (x − a)².

Из этого уравнения находим, что

x =

±√ 6 − 2a²  + 2a 3

.

Ответ задачи отсутствует