Олимпиадная задача по стереометрии: двугранные углы правильного тетраэдра

Пусть ABCD – правильный тетраэдр, O – центр грани ABC , M – середина BC . Так как OM BC и DM BC , то OMD – линейный угол двугранного угла, образованного гранями ABC и DBC . Так как ABC и DBC – равные равносторонние треугольники, AM и DM – их высоты, а O – центр треугольника ABC , то

OM = AM = · = .

Из прямоугольного треугольника OMD находим, что

cos OMD = = = .

Аналогично для остальных двугранных углов правильного тетраэдра.

arccos .