Олимпиадная задача по планиметрии и стереометрии: расстояния от вершин треугольника (10-11 класс)

Пусть A1, B1, C1, K1и M1– ортогональные проекции вершин соответственно A , B и C треугольника ABC , середины K стороны AC и точки M пересечения медиан этого треугольника на плоскость α , причём AA1 = 5, BB1 = 6и CC1 = 7.

Если точки A , B и C расположены по одну сторону от плоскости α (рис.1.), то KK1– средняя линия прямоугольной трапеции AA1C1C с основаниями AA1и CC1. Следовательно,

KK1 = (AA1 + CC1) = (5 + 7) = 6.

Четырёхугольник BB1K1K – прямоугольник, в котором BB1 = KK1 = 6. Точки M и M1лежат на его противоположных сторонах BK и B1K1, причём MM1 || BB1. Поэтому MM1 = BB1 = 6.

Если точки A , C расположены по одну сторону от плоскости α , а точка B – по другую (рис.2), аналогично предыдущему находим, что KK1 = 6. Четырёхугольник BB1KK1– параллелограмм, в котором BB1 = KK1 = 6. Точки M и M1лежат на его диагоналях BK и B1K1, причём MM1 || BB1и = . Пусть прямая MM1пересекает сторону BK1в точке D . Треугольник BMD подобен треугольнику BKK1с коэффициентом , а треугольник K1DM1– треугольнику K1BB1с коэффициентом . Поэтому

MM1 = MD - M1D = KK1 - BB1 = 4 - 2 = 2.

Если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости α , а точка C – по другую (рис.3), то KK1– отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и A1C1трапеции AA1CC1с основаниями AA1 = 5и CC1 = 7. Поэтому

KK1 = (CC1 - AA1) = (7 - 5) = 1,

причём точки C и K лежат по одну сторону от плоскости α , а значит, точки B и K – по разные стороны от этой плоскости. Тогда отрезок MM1соединяет точки M и M1, лежащие на диагоналях соответственно BK и B1K1трапеции BB1KK1с основаниями BB1 = 6и KK1 = 1, причём = и MM1 || BB1.

Пусть прямая MM1пересекает сторону B1K в точке E . Треугольник KME подобен треугольнику KBB1с коэффициентом , а треугольник B1M1E – треугольнику B1K1K с коэффициентом . Поэтому

MM1 = ME - M1E = BB1 - KK1 = 2 - = .

Наконец, если точки B и C расположены по одну сторону от плоскости α , а точка A – по другую (рис.4), то аналогично предыдущему находим, что KK1 = 1и точки K и B расположены по одну сторону от плоскости α . Тогда концы отрезка MM1лежат на боковых сторонах прямоугольной трапеции BB1K1K с основаниями BB1и KK1, причём = и MM1 || BB1.

Пусть диагональ BK1пересекается с отрезком MM1в точке F . Треугольник BMF подобен треугольнику BKK1с коэффициентом , а треугольник K1M1F – треугольнику K1B1B с коэффициентом . Поэтому

MM1 = MF + M1F = KK1 + BB1 = + 2 = .

6; 2; ; .