Олимпиадная задача по стереометрии: сечение параллелепипеда через точку M

Задача

Точка M принадлежит ребру CD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, причём CM:MD = 1:2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым DB и AC1. В каком отношении эта плоскость делит диагональ A1C параллелепипеда?

Решение

Через прямую BD , параллельную секущей плоскости, проведена плоскость ABCD , имеющая с секущей плоскостью общую точку M . Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью ABCD по прямой, проходящей через точку M параллельно BD .

Пусть K – точка пересечения этой прямой с диагональю AC параллелограмма ABCD , L – центр параллелограмма. Тогда

= = , = .

Через прямую AC1, параллельную секущей плоскости, проведена плоскость AA1C1C , имеющая с секущей плоскостью общую точку K . Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью AA1C1C по прямой, проходящей через точку K параллельно AC1. Пусть P – точка пересечения этой прямой с диагональю A1C параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, а O – центр параллелепипеда. Тогда

= = , 1 = .