Олимпиадная задача: объём шестиугольной пирамиды со сферой, стереометрия 10-11 класс

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF с вершиной P . Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCDEF . По условию задачи PM = h .

Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a . Тогда AM = a . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , P и D . Получим окружность радиуса R с центром O на прямой MP и вписанный в эту окружность равнобедренный треугольник APD . Продолжим отрезок PM за точку M до пересечения с окружностью в точке Q . Из прямоугольного треугольника APQ находим, что

h2(2R - h).