Олимпиадная задача по стереометрии: объём правильной четырёхугольной пирамиды для 10–11 классов

Пусть M – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с боковыми рёбрами PA = PB = PC = PD = b , K – середина AB . Обозначим AB = BC = CD = AD = a . Тогда

AM = , PK = = ,

Q = S_{Δ ABP} = AB· PK = a = a,

4Q = a, 16Q2 = 4a2b2 - a4, a4 - 4a2b2 + 16Q2 = 0.

Из полученного уравнения находим, что

a2 = 2b2 -

(второй корень не удовлетворяет условию задачи, т.к. b > ). Поэтому

PM = = = =

= .

Следовательно,

V_PABCD = S_ABCD· PM = a2· PM =

= (2b2 - ) = (b2 - ).

(b2 - ) .