Олимпиадная задача по стереометрии: шары и конус в цилиндре, 10-11 класс

Олимпиадная задача по стереометрии: вписанные шары и конус в цилиндре, 10-11 класс

Задача

В цилиндр с радиусом основания, равным 1, и высотой , вписаны три одинаковых шара так, что шары касаются верхнего основания цилиндра, его боковой поверхности и попарно друг друга. Найдите объём конуса, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра и который касается всех трёх шаров.

Решение

Заметим, что

= = 4(2 - 3) = 8 - 12.

Пусть O'1, O'2, O'1– ортогональные проекции центров O1, O2, O3шаров на плоскость нижнего основания цилиндра (рис.2), O – центр этого основания, r – радиус шаров, V – искомый объём конуса. Точка O – центр окружности, описанной около равностороннего треугольника O'1O'2O'1стороной2r , поэтому OO'1 = , а т.к. радиус основания цилиндра равен 1, то + r = 1, откуда

r = = (2 - ) = 2 - 3.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку O1(рис.3). Получим прямоугольник ABCD , равнобедренный треугольник BCE с основанием BC = 2и высотой EO ( E – вершина конуса) и окружность с центром O1и радиусом r = 2 - 3, касающуюся AB , AD и BE в точках F , G и H соответственно. Обозначим O1BF = α . Тогда