Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 классов: радиус шара в треугольной пирамиде

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1). Так как AB CD и KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Тогда равный ему параллелограмм NDMC – также ромб. Аналогично, грани ANCL и KDMB – ромбы. Значит, AN = AL = AK , поэтому оставшиеся грани AKDN и LBMC – также ромбы. Следовательно, AD BC . Кроме того, т.к. AC = BD , то грани ANCL и KDMB – прямоугольники.

Таким образом, все рёбра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через x . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AB2 + CD2 = 4x2, AC2 + BD2 = 4x2, AD2 + BC2 = 4x2.

Следовательно,

AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.

Пусть сфера радиуса r касается рёбер AB , CD , AD и BC тетраэдра ABCD в точках E , F , G и H соответственно (рис.2). Тогда

AB + CD = (AE + BE) + (CF + DF) = (AG + BH) + (CH + DG) =

= (AG + DG) + (CH + BH) = AD + BC.

Аналогично, AC + BD = AB + CD . Обозначим AC = BD = x . Тогда

AB + CD = AC + BD = 2x, AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = 2x2.

Возведём обе части первого равенства в квадрат и вычтем из полученного равенства второе. Из системы

AB + CD = 2x, AB· CD = x2,

находим, что AB = CD = x . Аналогично, AD = BC = x . Поэтому

x = AD = BC = AB = CD = AC = BD = a.

Значит, ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , а параллелепипед AKBLNDMC – куб, диагональ грани которого равна a , а ребро равно (рис.3). Данная сфера вписана в этот куб, поэтому радиус шара вдвое меньше ребра куба. Следовательно,

r = = .

.