Олимпиадная задача по стереометрии: существует ли тетраэдр с такими рёбрами?

Предположим, что такой тетраэдр существует. Достроим его до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Поскольку противолежащие рёбра тетраэдра попарно равны, получим прямоугольный параллелепипед. Пусть его измерения равны AK=a , KB=b и AN=c . Тогда по теореме Пифагора

a2 + b2 = 25, a2 + c2 = 144, b2 + c2 = 169.

Сложим почленно два первых равенства и от результата отнимем третье. Получим, что a = 0. Что невозможно. Треугольник BAD – прямоугольный, т.к.

AB2+AD2= 25+144 = 169 = BD2.

Поэтому DA AB . Аналогично, AD DC , BC AB и BC CD . Значит, AD и BC – общие перпендикуляры скрещивающихся прямых AB и CD , что противоречит единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых. Поскольку противоположные рёбра данного тетраэдра попарно равны, то он равногранный. Известно, что грани равногранного тетраэдра – остроугольные треугольники.

Нет.