Олимпиадная задача по стереометрии: медианы тетраэдра и отрезки между серединами

Докажем сначала, что в одной точке пересекаются медианы тетраэдра. Для этого достаточно установить, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении3:1, считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну и медиан тетраэдра в отношении3:1, считая от вершины, проходят остальные три медианы.

Пусть M и N – точки пересечения медиан граней соответственно ABC и ABD тетраэдра ABCD (рис.1), K – середина AB . Плоскость, проходящая через точки D , K и C , содержит точки M и N , причём стороны CK и DK треугольника DKC делятся этими точками в одном и том же отношении:

CM:MK = DN:NK = 2:1.

Из подобия треугольников KCD и KMN следует, что

CD:MN = KC:KM = 3:1.

Пусть отрезки DM и CN пересекаются в точке O . Из подобия треугольников DOC и MON следует, что

OD:OM = OC:ON = CD:MN = 3:1,

что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, также проходят через точку O .

Пусть L – середина ребра CD (рис.2). Тогда отрезки DM и KL лежат в одной плоскости – плоскости треугольника KDC . Пусть они пересекаются в точке O' . Через точку D проведём прямую, параллельную CK , и обозначим через P точку пересечения этой прямой с продолжением отрезка KL . Тогда

DP = CK, KM = CK = DP.

Из подобия треугольников DO'P и MO'K находим, что

DO':O'M = DP:KM = 3:1.

Значит, точка O' совпадает с точкой O . Аналогично, отрезки, соединяющие середины рёбер BC и AD , а также BD и AC , проходят через точку O . Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует