Олимпиадная задача по планиметрии: площади фигур в выпуклом четырёхугольнике для 8-9 классов
Задача
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM и LN пересекаются в точке E. Площади четырёхугольников AKEN, BKEL и DNEM равны соответственно 6, 6 и 12. Найдите:
а) площадь четырёхугольника CMEL;
б) отрезок CD, если AB = ${\frac{1}{2}}$.
Решение
Известно, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому KLMN — параллелограмм. Значит, E — середина LN. Поскольку EK — медиана треугольника AEB, то треугольники AEK и BEK равновелики, а т.к. равновелики четырёхугольники AKEN и BKEL, то
S$\scriptstyle \Delta$AEN = S$\scriptstyle \Delta$BEL. Основания NE и LE равновеликих треугольников AEN и BEL равны, значит равны их высоты, опущенные на эти основания. Таким образом, точки A и B равноудалены от прямой NL. Следовательно, LN || AB.
Поскольку L и N — середины отрезков BC и AD, то CD || AB. Значит, ABCD и CDNL — трапеции. Поскольку точки E и M — середины оснований трапеции CDNL, то SCMEL = SDNEM = 12.
Пусть прямая, проходящая через вершину B параллельно AD, пересекает NL в точке P, а прямая, проходящая через точку L параллельно AD, пересекает CD в точке Q. Из равенства треугольников BPL и LQC следует, что LP = CQ
Обозначим CD = x, LN = y. Тогда
Ответ
С) 12; Т) ${\frac{5}{2}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь