Олимпиадная задача: Свойства производной и графика непрерывной функции, 10-11 класс

 Пример:

f (x) = $\displaystyle \left{\vphantom{ 2-x,\hbox{если }x\le 1;\ 1/x,\hbox{если }x>1. }\right.$2 - x,еслиx$\displaystyle \le$1;

1/x,еслиx > 1.

(график этой функции изображен на рис.). Первое свойство очевидно, второе свойство следует из того, что производные функций 2 -xи 1/xв точке 1 равны. Докажем третье свойство. Очевидно, что если x рационально, то и f (x) рационально. Пусть y = f (x) рационально. Тогда или x = 2 - y, или x = ${\frac{1}{y}}$. В любом случае x рационально. Значит, рациональным x соответствуют рациональные f (x) и наоборот.