Олимпиадная задача по математике о числе N и k-девятках — индукция и системы счисления

Ответ:такое число существует для любогоk:N_k=9k·(10^k-1). Пусть 9k= s₁...s_t0...0(s_tне равно 0, нулей на конце может и не быть). Проверим, что сумма цифр числаN_kравна 9k. Запишем разность чисел 9k·10^kи 9k, учитывая, что 9k<10^kпри любомk:  

- s₁s₂...s_t-1 s_t 0...0 0 ... 0 0 0...0      s₁ ... s_t-1 s_t 0...0  s₁s₂...s_t-1 s_t-1 9...9 (9-s₁) ... (9-s_t-1) (10-s_t) 0...0  В нижней строчке записано числоN_k. Легко видеть, что сумма его цифр равнаs₁+...+s_t-1+9+...+9+(9+1)-s₁-...-s_t=9k.

в записи левой части k девяток)