Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: построение треугольника по биссектрисе и её делениям циркулем и линейкой

Задача 202737 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Нет решения Нет ответа
Задача

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

Пусть нужный треугольник ABC построен, CD = lc — данная биссектриса, BD = a' и AD = b' — данные отрезки, на которые она делит сторону AB. Обозначим BC = a, AC = b.

Первый способ.
По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис.1)
lc2 = AD2 = BC . AC - BD . AD = ab - a'b'.
По свойству биссектрисы треугольника
$\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$.
Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a' и b' строим отрезок x = $ \sqrt{a'b'}$ — среднее геометрическое отрезков a' и b'. Зная отрезок x и данный отрезок lc, строим отрезки
y = $\displaystyle \sqrt{ab}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ a'b'}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ x^{2}}$ и , z = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ . y.
Поскольку
a2 = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ . ab = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ . y2,
то можно построить отрезок
a = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y\cdot y}$ = $\displaystyle \sqrt{z\cdot y}$.
По известным отрезкамa,a'иlcстроим треугольникBCD. Далее очевидно.
Второй способ.
Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A и B постоянно и отлтчно от 1, есть окружность (окружность Аполлония).

Пусть a' > b'. Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны BA за точку A (рис.2). Обозначим точку пересечения через E. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника

$\displaystyle {\frac{BE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{AE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$.
Значит, можно построить отрезок
AE = AB . $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$ = $\displaystyle {\frac{(a'+b')\cdot b'}{a'-b'}}$.
(ОтрезокDEвиден из искомой точкиCпод прямым углом.) Далее на отрезкеABстроим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точекAиBи отношения$ {\frac{a'}{b'}}$. Тогда искомая вершинаC— это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центромDи радиусомlc.
Разделы:
Планиметрия
Количество версий:
5
Решение

Решение задачи отсутствует

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет