Олимпиадная задача по планиметрии: треугольник с углом 60°, биссектрисой и отношением сторон
Задача
В треугольнике ABC угол C равен 60o, а биссектриса угла C равна 5$\sqrt{3}$. Длины сторон AC и BC относятся как 5:2 соответственно. Найдите тангенс угла A и сторону BC.
Решение
Пусть CD = 5$\sqrt{3}$ — биссектриса данного треугольника. Обозначим BC = 2t, AC = 5t. Тогда
S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . BC . AC sin 60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$t2$\displaystyle \sqrt{3}$,
S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$BCD + S$\scriptstyle \Delta$ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . BC . CD sin 30o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AC . CD sin 30o =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2t . 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 5t . 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 7t . 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{4}}$t$\displaystyle \sqrt{3}$.
Из уравнения${\frac{5}{2}}$t2$\sqrt{3}$=${\frac{35}{4}}$t$\sqrt{3}$находим, чтоt=${\frac{7}{2}}$.
ТогдаBC= 2t= 7,AC= 5t=${\frac{35}{2}}$.
Пусть E — проекция точки D на прямую AC. Поскольку
BC < AC, то
$\angle$DAC = $\angle$BAC < 90o, поэтому точка E лежит на стороне AC,
а не на её продолжении. Тогда из прямоугольных треугольников CED и AED находим, что
DE = CD sin 30o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CD = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{2}}$ , CE = CD cos 30o = 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$,
AE = AC - CE = $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{2}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ = 10, tg$\displaystyle \angle$DAE = $\displaystyle {\frac{DE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{10}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$.
Ответ
${\frac{\sqrt{3}}{4}}$; 7.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет