Олимпиадная задача по планиметрии: найти угол CAD в четырёхугольнике ABCD
Задача
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = BC, DB — биссектриса угла D, $\angle$ABC = 100o, $\angle$BEA = 70o. Найдите угол CAD.
Решение
Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому $\angle$CAB = $\angle$ACB = 40o. Тогда
$\displaystyle \angle$ABE = 180o - 70o - 40o = 70o, $\displaystyle \angle$CBE = $\displaystyle \angle$CBA - $\displaystyle \angle$ABE = 100o - 70o = 30o.
Пусть F — точка, симметричная вершине A относительно прямой BD.
Поскольку DB — биссектриса угла ADC, то точка F лежит на луче DC,
$\angle$BFE = $\angle$BAE = 40o = $\angle$BCE. Таким образом, отрезок BE виден из точек
C и F под одним углом, причём точки C и F лежат по одну сторону от прямой BE.
Значит, точки C, F, B и E лежат на одной окружности. Поэтому
$\displaystyle \angle$CFE = $\displaystyle \angle$CBE = 30o.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$CAD = $\displaystyle \angle$DFE = $\displaystyle \angle$CFE = 30o.
Ответ
30o.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет