Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: отношение площадей в треугольнике ABC
Задача
В треугольникеABCизвестно, чтоAB=BC,$\angle$BAC= 45o. ПрямаяMNпересекает сторонуACв точкеM, а сторонуBC— в точкеN,AM= 2 . MC,$\angle$NMC= 60o. Найдите отношение площади треугольникаMNCк площади четырёхугольникаABNM.
Решение
ОбозначимMC=a. ТогдаAC= 3a,BC=${\frac{3a}{\sqrt{2}}}$.
По теореме синусов из треугольникаMCNнаходим, что
CN = MC . $\displaystyle {\frac{\sin \angle NMC}{\sin \angle CNM}}$ = a . $\displaystyle {\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}}$ = $\displaystyle {\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$.
Тогда
S$\scriptstyle \Delta$MNC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . CM . CN . sin 45o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . a . $\displaystyle {\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}}$,
SABNM = S$\scriptstyle \Delta$ABC - S$\scriptstyle \Delta$MNC = $\displaystyle {\frac{9a^{2}}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(6+\sqrt{3})}{4}}$.
Следовательно,
$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MNC}}{S_{ABNM}}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}}$ : $\displaystyle {\frac{a^{2}(6+\sqrt{3})}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{3-\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{7-3\sqrt{3}}{11}}$.
Ответ
${\frac{7-3\sqrt{3}}{11}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет