Олимпиадная задача по планиметрии с геометрической прогрессией в треугольнике KLM для 8-9 класса
Задача
В прямоугольном треугольникеKLMпроведён отрезокMD, соединяющий вершину прямого угла с точкойDна гипотенузеKLтак, что длины отрезковDL,DMиDKразличны и образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем$\sqrt{2}$, причёмDL= 1. Найдите величину углаKMD.
Решение
Поскольку длины отрезковDL,DMиDKобразуют геометрическую прогрессию со знаменателем$\sqrt{2}$, то
DM = DL . $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$, DK = DM . $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2.
Обозначим$\angle$MKL=$\alpha$. ТогдаKM=KLcos$\alpha$= 3 cos$\alpha$.
По теореме косинусов
MD2 = KM2 + KD2 - 2 . KM . KD . cos$\displaystyle \alpha$, или 2 = 9 cos2$\displaystyle \alpha$ + 4 - 2 . 6 cos2$\displaystyle \alpha$,
откуда находим, чтоcos$\alpha$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$. Тогдаsin$\alpha$=${\frac{1}{\sqrt{3}}}$.
Применяя теорему синусов к треугольникуMKD, находим, что
sin$\displaystyle \angle$KMD = KD . $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{MD}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sin \alpha}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}$.
Поскольку уголKMD— острый, то
cos$\displaystyle \angle$KMD = $\displaystyle \sqrt{1-\frac{2}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$.
Ответ
arccos${\frac{1}{\sqrt{3}}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет