Олимпиадная задача по планиметрии: высота из вершины A в треугольнике ABC

  Пусть K, L и M – середины сторон соответственно AB, BC и AC, AP – искомая высота. Треугольник ABC подобен треугольнику LMK с коэффициентом 2. Если R – радиус описанной окружности треугольника KLM, то  ML = 2R sin∠MKL = 4sin 105° = 4cos 15°.   Пусть LH – высота треугольника KLM. Из прямоугольного треугольника MHL находим, что  LH = ML sin∠KML = 4cos 15° sin 45° = 2(sin 60° + sin 30°) = + 1.

  Следовательно,  AP = 2LH = 2 + 2.

2 + 2.