Олимпиадная задача по планиметрии: площадь треугольника ABC, углы 60° и 45°
Задача
Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольникаABC, в котором углы при вершинахAиBравны60oи45oсоответственно. Найдите площадь треугольника.
Решение
Докажем сначала, что площадь треугольника можно вычислить по формуле
S = 2R2sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$,
гдеR— радиус описанной около треугольника
окружности,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$— углы треугольника.
Пустьa,b,c— стороны треугольника, противолежащие углам$\alpha$,$\beta$,$\gamma$соответственно. По теореме синусовa= 2Rsin$\alpha$,b= 2Rsin$\beta$. Следовательно,
S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab . sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2R sin$\displaystyle \alpha$ . 2R sin$\displaystyle \beta$ . sin$\displaystyle \gamma$ = S = 2R2sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$.
ПустьK,LиM— середины сторон соответственноAB,BCиACтреугольникаABC.
Тогда треугольникABCподобен треугольникуLMKс коэффициентом 2. По доказанной выше
формуле
S$\scriptstyle \Delta$LKM = 2 . 32sin 60osin 45osin 75o = 2 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{9(3+\sqrt{3})}{4}}$.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$ABC = 4S$\scriptstyle \Delta$LKM = 9(3 + $\displaystyle \sqrt{3}$).
Ответ
9(3 +$\sqrt{3}$).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет