Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: четырехугольник с вписанной окружностью
Задача
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть K — точка пересечения его диагоналей. Известно, что AB > BC > KC,
BK = 4 + $\sqrt{2}$, а периметр и площадь треугольника BKC равны соответственно 14 и 7. Найдите DC.
Решение
Пусть p = 7 — полупериметр, S = 7 — площадь треугольника BKC; L, M и N — точки касания вписанной окружности этого треугольника со сторонами BC, KC и BK соответственно. Обозначим KM = KN = x, BL = BN = y. Тогда
p - BK = 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$) = 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$, p - BC = KM = x,
p - KC = BL = y, x + y = KN + BN = 4 + $\displaystyle \sqrt{2}$.
По формуле Герона
S = $\sqrt{p(p-BK)(p-BC)(p-KC)}$, или
7 = $\sqrt{7(3-\sqrt{2})xy}$.
Отсюда находим, что
xy = $\displaystyle {\frac{7}{3-\sqrt{2}}}$ = 3 + $\displaystyle \sqrt{2}$.
Посколькуx+y= 4 +$\sqrt{2}$, то числаxиyявляются корнями квадратного
уравненияt2- (4 +$\sqrt{2}$)t+ 3 +$\sqrt{2}$= 0. Значит,x= 1,y= 3 +$\sqrt{2}$либоx= 3 +$\sqrt{2}$,y= 1.
В первом из этих случаев
BC = BL + LC = BL + (p - BK) = y + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$) = 3 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 6,
KC = KM + MC = KM + (p - BK) = x + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$) = 1 + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 4 - $\displaystyle \sqrt{2}$ < 6 = BC,
во втором —
BC = BL + LC = BL + (p - BK) = y + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$) = 1 + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 4 - $\displaystyle \sqrt{2}$,
KC = KM + MC = KM + (p - BK) = x + 7 - (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$) = 3 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 6 > 4 - $\displaystyle \sqrt{2}$ > BC,
что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом,BC= 6,KC= 4 -$\sqrt{2}$.
Поскольку
BK2 + KC2 = (4 + $\displaystyle \sqrt{2}$)2 + (4 - $\displaystyle \sqrt{2}$)2 = 36 = BC2,
то треугольникBKCпрямоугольный,$\angle$BKC= 90o. Значит,
диагонали четырёхугольникаABCDперпендикулярны.
Докажем, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны,
то суммы квадратов противоположных сторон равны.
Действительно, пусть диагонали AC и BD такого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. По теореме Пифагора
AB2 + CD2 = (KA2 + KB2) + (KC2 + KD2) = (KA2 + KD2) + (KB2 + KC2) = AD2 + BC2.
Пусть для четырёхугольника ABCD из нашей задачи AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.
Поскольку в него можно вписать окружность, то a + c = b + d. Кроме того, по доказанному
a2 + c2 = b2 + d2. Тогда
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
a+c=b+d\\
a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}\\
a>b
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
a+c=b+d\\
a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}\\
a>b
\end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
a^{2}-b^{2}=d^{2}-c^{2}\\
a>b
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
a^{2}-b^{2}=d^{2}-c^{2}\\
a>b
\end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
(a-b)(a+b)=(d-c)(d+c)\\
a>b
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
(a-b)(a+b)=(d-c)(d+c)\\
a>b
\end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
(a-b)(a+b)=(a-b)(d+c)\\
a>b
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
(a-b)(a+b)=(a-b)(d+c)\\
a>b
\end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
a+b=d+c\\
a>b
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
a-b=d-c\\
a+b=d+c\\
a>b
\end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
a=d\\
b=c\\
a>b.
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
a=d\\
b=c\\
a>b.
\end{array}$
Следовательно,
CD = c = b = BC = 6.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет