Олимпиадная задача по математике: сколько степеней двойки начинаются на 4? 10-11 класс

Решение 1:   Рассмотрим все n-значные степени двойки. Подчеркнём три из них: наименьшую – она начинается с цифры 1, следующую – начинается с цифры 2 или 3; и наибольшую – она начинается с цифры не менее 5. Неподчёркнутой могла остаться лишь степень, начинающаяся с цифры 4.

  Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с цифры 2 или 3, ровно 100 – с цифр больших 4 (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остаются 33 числа, начинающихся с четвёрки.

Решение 2:   Как сказано в условии,  10¹⁰⁰ ≤ 2³³³ < 2·10¹⁰⁰.  Разделив на 2³⁰⁰, получим  (⁵/₄)¹⁰⁰ ≤ 2³³ < 2&middot(⁵/₄)¹⁰⁰ , или  2³² < (⁵/₄)¹⁰⁰ ≤ 2³³.

  То, что число 2^m  (0 < m < 333)  начинается с 4, равносильно неравенству  4·10ⁿ ≤ 2^m < 5·10ⁿ,  где n может принимать значения от 0 до 99. Разделив на 2³ⁿ⁺², получим еще одно равносильное неравенство  (⁵/₄)ⁿ ≤ 2^k < (⁵/₄)ⁿ⁺¹,  где  k = m – 3n – 2.  Каждая степень двойки от 2⁰ до 2³² попадёт в один из таких промежутков (а 2³³, как показано выше, находится правее последнего промежутка). Итак, подобное неравенство выполняется ровно 33 раза.