Олимпиадная задача по последовательностям и принципу крайнего (Анджанс

Решение 1:   Пусть таких членов последовательности конечное число, и k таково, что  a_k > k  и  a_n ≤ n  для всех  n > k.

  Пусть  N = a_m  – максимальное среди чисел  а₁, ..., а_k.  Тогда каждое из чисел  а₁, ..., а_N  не превосходит N. Но таких чисел в последовательности не более  N – 1   (нет 1). Противоречие.

Решение 2:   Предположим, что таких членов конечное число. Тогда последовательность  B_n = (a₁ – 1) + ... + (a_n – n)  ограничена сверху (так как только конечное число слагаемых положительно. С другой стороны,  B_n = (a₁ + ... + a_n) – (1 + ... + n) ≥ (2 + ... + (n + 1)) – (1 + ... + n) = n.  Противоречие.