Олимпиадная задача: отношение площадей поверхностей конуса и пирамиды
Задача
В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади его боковой поверхности, если сторона основания пирамиды равна 4, а угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани равен 30o.
Решение
Пусть окружность основания конуса, вписанного в данную правильную четырехугольную пирамиду PABCD с вершиной P, касается стороны AB основания ABCD в точке M, O - центр основания. Тогда M - середина AB, PM - апофема пирамиды, MPO - угол между высотой PO пирамиды и плоскостью боковой грани APB. По условию задачи $\angle$MPO = 30o. Поэтому
PM = 2 . OM = 2 . AD/2 = 2 . 2 = 4.
Еслиr- радиус основания конуса,l- образующая,S1- площадь
боковой поверхности конуса, аS2- площадь его полной поверхности,
то
S1 = $\displaystyle \pi$rl = $\displaystyle \pi$ . OM . PM = $\displaystyle \pi$ . 2 . 4 = 8$\displaystyle \pi$,
S2 = $\displaystyle \pi$r2 + $\displaystyle \pi$rl = $\displaystyle \pi$ . OM2 + $\displaystyle \pi$ . OM . PM = 4$\displaystyle \pi$ + 8$\displaystyle \pi$ = 12$\displaystyle \pi$.
Следовательно,S2/S1= 12$\pi$/(8$\pi$) = 3/2.
Ответ
1.5.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет