Олимпиадная задача: радиус сферы через точки куба, 10–11 класс
Задача
Дан куб ABCDA1B1C1D1с основаниями ABCD и A1B1C1D1.
Точка M – середина ребра AB , K – середина ребра CD . Найдите радиус
сферы, проходящей через точки M , K , A1, C1, если ребро куба равно 
.
Решение
Обозначим через a ребро куба. Центр O сферы, проходящей через точки M , K , A1и C1, равноудален от точек A1и C1, поэтому точка O лежит в плоскости α , перпендикулярной отрезку A1C1и проходящей через его середину, т.е. в поскости BDD1B1. Точка O равноудалена от точек M и K , поэтому она лежит в плоскости β , перпендикулярной отрезку MK и проходящей через его середину. Плоскости α и β пересекаются по прямой PQ , где P и Q – центры квадратов ABCD и A1B1C1D1соответственно.
Обозначим OQ = x , OM = OK = OA1 = OC1 = R . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников OPM и OQA1находим, что
R2 = OA21 = OQ2 + QA21 = x2 + (
)2
= x2 + 
,
R2 = OM2 = OP2 + PM2 = (a - x)2 + (
)2 =
(a - x)2 + 
.
x2 + = (a - x)2 +
a . Следовательно,
R2 = 
= 
=
.
, то
R = · 
= 
.
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь