Олимпиадная задача: пирамида с ромбом в основании, точка E и отношение
Задача
В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб ABCD, в котором $\angle$BAD = 60o. Известно, что SD = SB, SA = SC = AB. На ребре DC взята точка E так, что площадь треугольника BSE наименьшая среди площадей всех сечения пирамиды, содержащих отрезок BS и пересекающих отрезок DC. Найдите отношение DE : EC.
Решение
Боковые ребра SD и SB данной пирамиды равны, поэтому основание O высоты пирамиды равноудалено от точек D и B. Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DB, т.е. на прямой AC. Аналогично докажем, что точка O лежит на прямой BD. Поэтому высота пирамиды проходит через центр ромба.
Обозначим SA = SC = AB = a, EC = x. Тогда
BE = $\displaystyle \sqrt{CB^{2} + CD^{2} - 2\cdot CB\cdot CD\cdot \cos 60^{\circ }}$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2} + x^{2} - ax}$.
ПустьP- основание перпендикуляра, опущенного из точкиOнаBE. По теореме о трех перпендикулярахSP$\perp$BE, т.е.SP- высота
треугольникаBSE. Опустим перпендикулярDKиз точкиDна прямуюBE.
ТогдаOP- средняя линия треугольникаDBK. ПустьM- серединаCD.
Тогда, записав двумя способами площадь треугольникаDBE, получим,
что
OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$DK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$DE . BM/BE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(a - x) . (a$\displaystyle \sqrt{a^{2} + x^{2} - ax}$ =
= a$\displaystyle \sqrt{a^{2} + x^{2} - ax}$).
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольниковSOCиSOPнаходим, что
SO2 = SD2 - OD2 = a2 - 3a2/4 = a2/4,
SP2 = SO2 + OP2 = a2/4 + 3a2(a - x)2/(16(a2 + x2 - ax)) =
= a2(4a2 + 4x2 - 4ax + 3a2 + 3x2 - 6ax)/(16(a2 + x2 - ax)) =
= a2(7x2 - 10ax + 7a2)/(16(a2 + x2 - ax)),
S2(BSE) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$BE2 . SP2 =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(a2 + x2 - ax) . a2(7x2 - 10ax + 7a2)/(16(a2 + x2 - ax)) =
= a2(7x2 - 10ax + 7a2)/64.
Поскольку площадь есть положительная величина, она достигает своего
наименьшего значения тогда и только тогда, когда минимален ее
квадрат. Квадрат площади есть квадратный трехчлен отx. Его
наименьшее значение достигается приx= 5a/7. В этом случае
EC = 5a/7, DE = a - x = 2a/7.
Следовательно,DE/EC= 2/5.
Ответ
2 : 5.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет