Олимпиадная задача: угол и расстояние между прямыми в параллелепипеде

Выберем систему координат с началом в точке D1. Ось x направим по лучу D1C1, ось y – по лучу D1A1, ось z – по лучу D1D . Тогда координаты концов отрезков D1M и B1K таковы:

D1(0; 0; 0), M(1; 2; 4), B1(3; 2; 0), K(; 0; 2).

Найдём координаты векторов и :

= (1; 2; 4), =(-;-2;2).

Пусть ϕ – угол между векторами и . Тогда

cos ϕ = = = = .

Если α – угол между прямыми D1M и B1K , то

cos α = | cos ϕ | = .

Пусть = (a; b; c)– вектор, перпендикулярный прямым D1M и B1K . Тогда · = 0и · = 0, или

Сложив почленно эти уравнения, получим, что -a + 6c = 0, или a = 12c . Положим c = 1. Тогда a = 12, b = (-a - 4c) = -8.

Через точку D1проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (12; -8; 1):

12x - 8y + z = 0.

Эта плоскость проходит через прямую D1M параллельно прямой B1K , значит, расстояние между прямыми D1M и B1K равно расстоянию от произвольной точки прямой B1K (например, от точки B1(3; 2; 0)) до этой плоскости. Если ρ – искомое расстояние, то

ρ = = .

arccos , .