Математическая задача: угол между диагоналями граней параллелепипеда

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Пусть AD1и DC1– указанные диагонали. Тогда AD1A1 = α , DCD1 = β .

Выберем систему координат с началом в точке A . Ось x направим по лучу AB , ось y – по лучу AD , ось z – по лучу AA1. Пусть AB = 1. Тогда

AA1 = DD1 = D1C1 tg β = tg β, AD = A1D1 = AA1 ctg α = tg β ctg α.

Тогда координаты концов отрезков AD1и DC1таковы:

A(0; 0; 0), D1(0; tg β ctg α; tg β),

D(0; tg β ctg α;0), C1(1; tg β ctg α; tg β).

Пусть ϕ – угол между векторами = (0; tg β ctg α; tg β)и =(1;0; tg β). Тогда

cos ϕ = = =

= = = sin α sin β.

Если γ – угол между указанными прямыми, то

cos γ = | cos ϕ | = sin α sin β.

arccos ( sin α sin β).