Задача по олимпиадной математике: угол в осевом сечении конуса и пирам

На продолжении рёбер AB и AC за точки B и C отложим отрезки сооответственно BM и CN , равные a . Тогда AP = AM = AN = 2a , поэтому точки P , M и N лежат на окружности основания конуса с вершиной A и образующей2a . Окружность основания этого конуса описана около треугольника MNP . Пусть r – её радиус. Обозначим PM = PN = x . В треугольнике APM по формуле для медианы

4PB2 = 2PA2 + 2PM2 - AM2, или16a2 = 8a2 + 2x2 - 4a2,

откуда x = a . Поскольку BC – средняя линия треугольника, MN = 2BC = 2a . Если PK – высота равнобедренного треугольника MPN , то

PK = = = a,

sin PMN = = .

Поэтому

r = = = .

Пусть AO – высота конуса, α – угол при вершине осевого сечения. Тогда

sin = = = = .

2 arcsin .