Цилиндр максимального объёма, вписанный в сферу — задача по олимпиадно

Пусть h – высота цилиндра, r – радиус его основания (рис.1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O (рис.2). В сечении получится окружность радиуса R , в которую вписан прямоугольник ABCD со сторонами AD = BC = 2r , AB = CD = h и диагональю AC=2R , причём центр O окружности совпадает с центром прямоугольника ABCD . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что

4r2 = AD2 = AC2 - CD2 = 4R2 - h2.

Пусть V(h)– объём цилиндра. Тогда

V(h) = π r2h = π h(4R2 - h2).

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = π h(4R2 - h2)на интервале(0;2R).

Решив уравнение V'(h) = 0, найдём критические точки функции V(h). Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку(0;2R).

V'(h) = (π h(4R2 - h2))' = π(4R2h - h3)' = π (R2 - h2).

Промежутку(0;2R)принадлежит единственный корень этого уравнения h = . При переходе через точку h = производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке(0;)функция V(h)возрастает, а на промежутке(; 2R)– убывает. Следовательно, при h = объём цилиндра –наибольший. При этом

r = = = R.

; R .