Олимпиадная задача: объём пирамиды ABCD по стереометрии с шаром

Рассмотрим развёртку D1AD2BD3C тетраэдра ABCD на плоскость треугольника ABC , причём точки D1, D2и D3– вершины треугольников с основаниями AC , AB и BC соответственно (рис.2). Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин B и C тетраэдра ABCD равны180^o , точка C лежит на отрезке D1D3, а точка B – на отрезке D2D3, причём C и D – середины этих отрезков. Поэтому BC – средняя линия треугольника D1D2D3. Значит, D1D2 = 2BC , а т.к. AD = BC , то AD1 = AD2 = BC , поэтому AD1 + AD2 = D1D2. Это означает, что точка A лежит на отрезке D1D2, причём A – середина этого отрезка. Таким образом, AC , AB и BC – средние линии треугольника D1D2D3. Следовательно,

BD = BD2 = AC, CD = CD1 = AB,

т.е. противолежащие рёбра тетраэдра ABCD попарно равны. Значит, все грани тетраэдра – равные треугольники (по трём сторонам) (рис.3).

Докажем, что расстояния от центра описанного шара этого тетраэдра до всех его граней равны между собой.

Пусть O – центр шара радиуса R , описанного около данного тетраэдра. Перпендикуляры, опущенные из точки O на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней (рис.1). Поскольку все грани – равные треугольники, радиусы их описанных окружностей равны. Обозначим их через R1. Тогда расстояния от точки O до плоскостей граней равны = r . Значит, точка O удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r .

Соединив точку O со всеми вершинами тетраэдра, разобъём его на четыре тетраэдра, основания которых – грани исходного тетраэдра, а высоты, опущенные на основания равны r . Объём исходного тетраэдра равен сумме объёмов четырёх тетраэдров нашего разбиения.

Поскольку полная поверхность S тетраэдра ABCD равна4· 100 = 400, а расстояния от точки O до граней тетраэдра равны r , то

V_ABCD = S· r = · 400· 3 = 400.

400.00