Сечение параллелепипеда через середины рёбер: олимпиадная задача

  а) Продолжим отрезки MN и DC до пересечения в точке Q. Прямая QK является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани CDD₁C₁. Обозначим через E точку пересечения этой прямой с ребром CC₁. Аналогично построим точку P пересечения прямой MN с плоскостью грани ADD₁A₁ и точку F пересечения секущей плоскости с ребром AA₁. Таким образом, искомое сечение – пятиугольник MNEKF.   б) Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC,  MN || AC.  Поэтому четырёхугольник AMQC – параллелограмм. Следовательно,

QC = AM = ½ AB = ½ CD.  Из подобия треугольников QCE и QDK следует, что  CE : DK = QC : QD = 1 : 3.

  Тогда  CE = ⅓ DK = ⅙ DD₁ = ⅙ CC₁.

  Следовательно,  CE : EC₁ = 1 : 5.  Пусть H – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, L – точка пересечения отрезков MN и BD. Тогда L – середина BH, DL = DH + HL = ½ BD + ¼ BD = ¾ BD.

  Секущая плоскость пересекает плоскость параллелограмма BDD₁B₁ по прямой LK, поэтому точка O пересечения диагонали DB₁ параллелепипеда с отрезком LK является точкой пересечения диагонали DB₁ с секущей плоскостью. Пусть R – точка пересечения прямых LK и B₁D₁, лежащих в плоскости параллелограмма BDD₁B₁. Из равенства треугольников D₁KR и DKL следует, что  D₁R = DL = ¾ BD = ¾ B₁D₁.  Поэтому  B₁R = B₁D₁ + D₁R = ⁷/₄ B₁D₁.

  Из подобия треугольников LOD и ROB₁ находим, что  DO : OB₁ = DL : B₁R = 3 : 7.   в) Пусть S – площадь параллелограмма ABCD, h – высота параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (расстояние между параллельными плоскостями граней ABCD и A₁B₁C₁D₁), V – объём данного параллелепипеда. Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC,  S_BMN = ¼ S_ABC = ^S/₈,

S_AMP = S_CNQ = S_BMN = ^S/₈,  S_PQD = S – S_BMN + S_AMP + S_CNQ = ^9S/₈,  V_KPQD = ⅓ S_PDQ·^h/₂ = ⅓·⁹/₈ S·^h/₂ = ^3V/₁₆.

  Если h₁ – высота треугольной пирамиды ECNQ, проведённая из вершины E, то  h₁ : h = EC : EC₁ = 1 : 6.  Значит, V_ECNQ = ⅓·⅛ S·^h/₆ = ¹/₁₄₄ Sh = ^V/₁₄₄.

  Аналогично V_FAMP = ^V/₁₄₄.  Поэтому секущая плоскость отсекает от данного параллелепипеда многогранник, объём которого равен

V_KPDQ – V_ECNQ – V_FAMP = ^3V/₁₆ – ^V/₇₂ = ^25V/₁₄₄. .

б)  1 : 5,  3 : 7;   в)  25 : 119..