Олимпиадная задача по стереометрии: радиус вписанного шара в пирамиду

Пусть ABC и ABD – равносторонние треугольники со стороной a , а BCD и ACD – равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой CD . Тогда CD = a .

Боковые ребра AB , AC и AD треугольной пирамиды ABCD с онованием BCD равны, поэтому её высота AH проходит через центр окружности, описанной около треугольника BCD , т.е. H – середина гипотенузы CD этого реугольника. Тогда

AH = CD = ,

V_ABCD = S_{Δ BCD}· AH = · a· a· = .

Пусть r – радиус шара, вписанного в данную пирамиду, S – полная поверхность пирамиды. Тогда

S = 2S_{Δ ABC} + 2S_{Δ BCD} = a2 + = (2 + ).

Следовательно,

r = = = = .

= .