Олимпиадная задача: объем пирамиды с треугольным основанием 13, 14, 15
Задача
Каждое из боковых ребер пирамиды равно 269/32. Основание пирамиды - треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите объем пирамиды.
Решение
Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, в которой AD = BD = CD = 269/32, AB = 13, BC = 14, AC = 15. Поскольку DH - перпендикуляр к плоскости ABC, отрезки AH, BH и CH - проекции равных наклонных AH, BH и CH на плоскость ABC. Поэтому AH = BH = CH, т.е. H - центр окружности, описанной около треугольника ABC.
Площадь S треугольника ABC находим по формуле Герона:
S = $\displaystyle \sqrt{21\cdot (21 - 13)(21 - 14)(21 -15)}$ = $\displaystyle \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}$ = 7 . 3 . 4 = 84.
Затем находим радиусRокружности, описанной около треугольникаABC:
R = abc/(4S) = 13 . 14 . 15/(4 . 84) = 65/8.
По теореме Прифагора из прямоугольного треугольникаADHнаходим
высотуDHпирамды:
DH = $\displaystyle \sqrt{AD^{2} - AH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{AD^{2} - R^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(269/32)^{2} - (65/8)^{2}}$ =
= $\displaystyle \sqrt{(269/32)^{2} - (260/32)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{269^{2} - 260^{2}}$/32 =
= $\displaystyle \sqrt{(269 - 260)(269 + 260)}$/32 = $\displaystyle \sqrt{9\cdot 529}$/32 = 3 . 23/32 = 69/32.
Следовательно,
V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S . DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$84 . 69/32 = 84 . 23/32 = 21 . 23/8 = 483/8.
Ответ
483/8.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет