Описанная сфера треугольной пирамиды: задача по олимпиадной математике

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P ; AB = BC = AC = a ; M – центр треугольника ABC ; L – середина BC .

Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки L на прямую AP . Тогда прямая AP перпендикулярна плоскости треугольника BFC . Поэтому FL BC . Следовательно, FL – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP и BC . По условию задачи FL = .

Пусть α – угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

sin α = sin FAL = = = .

Тогда

cos α = , tg α = = ,

AP = = = ,

PM = AM tg α = · = .

Рассмотрим сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , A и M . В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок AL за точку L до пересечения с этой окружностью в точке A1. Тогда равнобедренный треугольник APA1вписан в окружность радиуса R .

По известной формуле для радиуса описанной окружности треугольника (теорема синусов) находим, что

R = = =

= = .

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P ; AB = BC = AC = a ; M – центр треугольника ABC ; L – середина BC .

Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки L на прямую AP . Тогда прямая AP перпендикулярна плоскости треугольника BFC . Поэтому FL BC . Следовательно, FL – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP и BC . По условию задачи FL = .

Пусть α – угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

sin α = sin FAL = = = .

Тогда

cos α = , tg α = = ,

AP = = = ,

PM = AM tg α = · = .

Продолжим высоту пирамиды до пересечения с описанной окружностью в точке Q и рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , A и Q . Эта плоскость пересекает описанную сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R сферы. Поскольку PQ – диаметр этой окружности, PAQ = 90^o . Отрезок AM – высота прямоугольного треугольника PAQ , проведённая из вершины прямого угла, поэтому AM2 = PM· MQ , или

()2 = (2R-),

откуда находим, что R= . .

.